Xrhrft

لمعانٍ أخرى، انظر مشتق (توضيح).

العدد المُشتَقّ في نقطة، على رسم بياني لدالة ذات متغيرات وقيم حقيقية، هو معامل المماس الموجِّهُ.^[1][2][3]
يعبر التفاضل عن المعدل الذي تتغير به قيمة y نتيجة تغير قيمة x توجد بينهما علاقة رياضية أو دالة رياضية. وتعرف الدالة المشتقة بأنها ميل المماس لمنحنى {f(x عند أي نقطة بشرط وجود هذه المشتقة أو هي السرعة اللحظية أو معدل التغيير اللحظي للدالة.
نستخدم الرمز Δ للدلالة على التغير في الكمية.
ويكون معدل التغير هو نهاية نسبة تغير y إلى نسبة تغير x :

ΔyΔx{displaystyle {frac {Delta y}{Delta x}}}

عندما Δx تقارب 0.

يمكن أن نكتب مشتق y بالنسبة ل x : (ترميز لايبنز)

dydx{displaystyle {frac {dy}{dx}}}

التعبير الدقيق عن مفهوم الاشتقاق يكون باستخدام مقادير لا متناهية في الصغر:

limh→0f(x+h)−f(x)h.{displaystyle lim _{hto 0}{frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.}

المنحنى معبر بالأسود، والمستقيم المماس له معبر بالأحمر، ونقطة تماس المنحنى مع المستقيم، تسمى بالعدد المشتق

رمز الاشتقاق

مشتقة الدالة f(x)=x⋅sin⁡(x2)+1{displaystyle f(x)=xcdot sin(x^{2})+1} عند كل نقطة, هو ميل المماس لمنحنى تلك الدالة, الخط دائما مماس للمنحنى الأزرق, وميله يمثل المشتقة. لاحظ تكون المشتقة موجبة عندما يظهر الخط باللون الأخضر, وسالبة عندما يظهر باللون الأحمر , وصفر عندما يظهر الخط باللون الأسود.

يمكن التعبير عن المشتق بعدة صيغ، منها ما يلي :

صيغة لايبنتز

dfdx{displaystyle {frac {{mathrm {d} }f}{{mathrm {d} }x}}} ،والتي تكافئ الصيغة d(f(x))dx{displaystyle {frac {{mathrm {d} }left(f(x)right)}{{mathrm {d} }x}}}

و تُقرأ ((dfdx)) أو ((مشتقة f بدلالة x)) ، أما d(f(x))/dx فتُقرأ ((ddx للدالة f عند x)) أو ((مشتقة f عند x))

dy/dx

و تُقرأ ((dydx)) أو ((مشتقة y بدلالة x))

صيغة لاغرانج

واحدة من الترميزات الأكثر استعمالا في الرياضيات المعاصرة تعود إلى عالم الرياضيات الفرنسي جوزيف لويس لاغرانج.

f′(x){displaystyle f'left(xright)} أو y'، و تُقرأ مشتقة y.

صيغة إسحاق نيوتن

x˙=dxdt=x′(t){displaystyle {dot {x}}={frac {{mathrm {d} }x}{{mathrm {d} }t}}=x'(t)} ،تستعمل خاصة في الفيزياء.

• صيغة ليونهارد أويلر :

Dxf(x){displaystyle D_{x}f(x);}

قواعد حساب الدالة المشتقة

الاشتقاق الثابت

في التحليل الرياضي، مشتق ثابت أو تابع ثابت هو الصفر. التابع الثابت هو تابع لا يعتمد على أي متغير مستقل مثل :

f(x) = 7

مشتقات بعض الدوال المعروفة

الدالة f(x)={displaystyle f(x)=,}	المشتقة f′(x)={displaystyle f'(x)=,}	شرط الاشتقاق
a{displaystyle a,!}	0{displaystyle 0,!}	x∈R{displaystyle x,in mathbb {R} }
ax{displaystyle ax,!}	a{displaystyle a,!}	x∈R{displaystyle x,in mathbb {R} }
1x{displaystyle 1 over x,!}	−1x2{displaystyle -{1 over x^{2}},!}	x∈R∗{displaystyle x,in mathbb {R} ^{*}}
x{displaystyle {sqrt {x}},!}	12x{displaystyle {1 over 2{sqrt {x}}},!}	x∈R+⋂R∗{displaystyle x,in mathbb {R} ^{+}bigcap mathbb {R} ^{*}}
axn{displaystyle ax^{n},!}	anxn−1{displaystyle anx^{n-1},!}	n∈N∗x∈R{displaystyle n,in mathbb {N} ^{*}quad x,in mathbb {R} }
axn{displaystyle ax^{n},!}	anxn−1{displaystyle anx^{n-1},!}	n∈Z∖Nx∈R∗{displaystyle n,in mathbb {Z} setminus mathbb {N} quad x,in mathbb {R} ^{*}}
axc{displaystyle ax^{c},!}	acxc−1{displaystyle acx^{c-1},!}	c∈R∖Zx∈R∗⋂R+{displaystyle c,in mathbb {R} setminus mathbb {Z} quad x,in mathbb {R} ^{*}bigcap mathbb {R} ^{+}}
cos⁡(x){displaystyle cos(x),!}	−sin⁡(x){displaystyle -sin(x),!}	x∈R{displaystyle x,in mathbb {R} }
sin⁡(x){displaystyle sin(x),!}	cos⁡(x){displaystyle cos(x),!}	x∈R{displaystyle x,in mathbb {R} }
tan⁡(x){displaystyle tan(x),!}	1cos2⁡(x){displaystyle 1 over cos ^{2}(x)} أو 1+tan2⁡(x){displaystyle 1+tan ^{2}(x),!}	x≠π2+kπ{displaystyle xneq {pi over 2}+kpi }, k∈Z{displaystyle kin mathbb {Z} }
arccos⁡(x){displaystyle arccos(x),!}	−11−x2{displaystyle -{1 over {sqrt {1-x^{2}}}},!}	x∈ ]−1;1[{displaystyle x,in ]-1;1[}
arcsin⁡(x){displaystyle arcsin(x),!}	11−x2{displaystyle {1 over {sqrt {1-x^{2}}}},!}	x∈ ]−1;1[{displaystyle x,in ]-1;1[}
sinh⁡(x){displaystyle sinh(x),!}	cosh⁡(x){displaystyle cosh(x),!}	x∈R{displaystyle x,in mathbb {R} }
cosh⁡(x){displaystyle cosh(x),!}	sinh⁡(x){displaystyle sinh(x),!}	x∈R{displaystyle x,in mathbb {R} }
arctan⁡(x){displaystyle arctan(x),!}	11+x2{displaystyle {1 over 1+x^{2}},!}	x∈R{displaystyle x,in mathbb {R} }
ax{displaystyle a^{x},!}	axln⁡a{displaystyle a^{x}ln a,!}	a∈R+∗x∈R{displaystyle a,in mathbb {R} _{+}^{*}quad x,in mathbb {R} }
ln⁡|x|{displaystyle ln |x|,!}	1x{displaystyle 1 over x,!}	x∈R∗{displaystyle x,in mathbb {R} ^{*}}
exp⁡x{displaystyle exp {x},!}	exp⁡x{displaystyle exp {x},!}	x∈R{displaystyle x,in mathbb {R} }

انظر أيضا

• أمثلة على الاشتقاق

مراجع

• 
  بوابة رياضيات
  


• 
  بوابة تحليل رياضي
  

في كومنز صور وملفات عن: مشتق