استمثال (رياضيات)
في الرياضيات، مصطلح الاستمثال كما يُعرف بأسماء أمثلية[1] أو مفاضلية أو تحسين (بالإنجليزية: optimization) يشير إلى اختيار العنصر الأمثل من بين مجموعة بدائل متاحة.
إذا كان لدينا : دالة رياضية f : A →{displaystyle to } R من مجموعة A إلى مجموعة الأعداد الحقيقية.
فإنه لدينا : عنصر x0{displaystyle {mathcal {}}x_{0}} في A بحيث أن
f(x0)≤f(x){displaystyle {mathcal {}}f(x_{0})leq f(x)}
من أجل جميع قيم x{displaystyle {mathcal {}}x} في المجموعة A ("تصغير" minimization) أو بحيث أن f(x0)≥f(x){displaystyle {mathcal {}}f(x_{0})geq f(x)} من أجل جميع قيم x{displaystyle {mathcal {}}x} في المجموعة A ("تكبير" maximization).[2]
مثل هذه الصياغة ندعوها أحيانا : برنامج رياضي mathematical program، وهو مصطلح لا يرتبط ببرمجة الحاسب، لكنه يبقى مستخدما في مجالات مثل البرمجة الخطية linear programming، فائدة هذا الحقل الدراسي تكمن في قدرته على نمذجة العديد من المسائل النظرية والواقعية أيضا.
A تؤلف مجموعة جزئية ما من الفضاء الإقليدي Rn, غالبا ما حدد عن طريق مجموعة من المحددات محددات constraints, أو المعادلات أو المتراجحات التي يجب أن تحققها عناصر A.
عناصر A تدعى حلولا ممكنة (محتملة) feasible solutions. والدالة f تدعى دالة موضوعية objective function أو دالة الكلفة cost function. الحل الممكن الذي يقوم بتصغير أو تكبير الدالة الموضوعية (حسب الغالية التي نريدها) ندعوه الحل الأمثل (الأفضل أو الأحسن) optimal solution.[3]
نطاق الدالة f : وهو A يدعى فضاء البحث، في حين تدعى عناصر A الحلول المرشحة candidate solution أو الحلول الممكنة feasible solutions.
بشكل عام، يكون هناك عدة نهايات صغرى محلية local minima ونهايات عظمى maxima محلية، حيث تعرف النهاية الصغرى المحلية x∗{displaystyle mathbf {x} ^{*}} على انها نقطة تحقق : من أجل بعض القيم δ>0{displaystyle {mathcal {}}delta >0} وجميع قيم x{displaystyle mathbf {x} } التي تحقق :
‖x−x∗‖≤δ{displaystyle |mathbf {x} -mathbf {x} ^{*}|leq delta };
تكون الصيغة التالية محققة :
- f(x∗)≤f(x){displaystyle f(mathbf {x} ^{*})leq f(mathbf {x} )}
هذا يعني أنه على أي نطاق كروي محيط ب x∗{displaystyle mathbf {x} ^{*}} تكون جميع قيم الدالة أكبر أو تساوي قيمة الدالة في هذه النقطة (هذا مفهوم النهاية الصغرى).
بشكل مشابه يمكننا تعريف النهاية العظمى والكبيرة.
انظر أيضا
- المربعات الدنيا
مراجع
^ الناهي، هيثم؛ شريّ، هبة؛ حسنين، حياة. "مشروع المصطلحات الخاصة" (PDF). المنظمة العربية للترجمة: 87. .mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit}.mw-parser-output .citation q{quotes:"""""""'""'"}.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/65/Lock-green.svg/9px-Lock-green.svg.png")no-repeat;background-position:right .1em center}.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg/9px-Lock-gray-alt-2.svg.png")no-repeat;background-position:right .1em center}.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/aa/Lock-red-alt-2.svg/9px-Lock-red-alt-2.svg.png")no-repeat;background-position:right .1em center}.mw-parser-output .cs1-subscription,.mw-parser-output .cs1-registration{color:#555}.mw-parser-output .cs1-subscription span,.mw-parser-output .cs1-registration span{border-bottom:1px dotted;cursor:help}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/Wikisource-logo.svg/12px-Wikisource-logo.svg.png")no-repeat;background-position:right .1em center}.mw-parser-output code.cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:inherit;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;font-size:100%}.mw-parser-output .cs1-visible-error{font-size:100%}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#33aa33;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-subscription,.mw-parser-output .cs1-registration,.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left,.mw-parser-output .cs1-kern-wl-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right,.mw-parser-output .cs1-kern-wl-right{padding-right:0.2em}
^ "The Nature of Mathematical Programming," Mathematical Programming Glossary, INFORMS Computing Society. نسخة محفوظة 05 مارس 2014 على موقع واي باك مشين.
^ W. Erwin Diewert (2008). "cost functions," The New Palgrave Dictionary of Economics, 2nd Edition Contents. نسخة محفوظة 01 نوفمبر 2017 على موقع واي باك مشين.
| ||||||||||
بوابة رياضيات
|
