نهاية متتالية
المتتالية التي قيم حدودها تساوي محيط متعددي الأضلاع المنتظمة والتي عدد أضلعها هو n والتي تحيط بالدائرة الوحدة أو التي الدائرة الوحدة تحيط بها، لها نهاية تساوي محيط الدائرة ذاتها، أي 2πr{displaystyle 2pi r}.
في الرياضيات، نهاية متتالية هي القيمة التي تتقارب إليها قيم أعضاء هذه المتتالية. وإذا كانت قيم أعضاء المتتالية تتقارب إلى قيمة محددة نقول أن تلك المتتالية "منتهية". إذا كانت المتتالية منتهية فتوجد لها نهاية، أما إذا كانت المتتالية غير منتهية (مثل متتالية الأعداد الطبيعية) فلا توجد لها نهاية. وكما توجد نهايات لبعض الدوال فإنه توجد أيضا نهايات لبعض المتتاليات. دراسة نهايات المتتاليات مهمة لأنها تسمح بدراسة متتاليات الدالات في فضاء متجهات وهذا مهم في حل المعادلات التفاضلية الجزئية.
محتويات
1 الأعداد الحقيقية
1.1 تعريف
1.2 أمثلة
1.3 خصائص
1.4 المتتاليات غير المنتهية
2 الفضاءات الطوبولوجية
2.1 تعريف
2.2 خصائص
3 انظر أيضا
4 مراجع
5 وصلات خارجية
الأعداد الحقيقية
تعريف
متتالية أويلر
يكون العدد الحقيقي x، نهاية للمتتالية xn إذا توفر الشرط التالي:
- بالنسبة لأي عدد ε> 0، يوجد عدد طبيعي N حيث لكل عدد n≥N{displaystyle ngeq N}، تتحقق المتراجحة |xn−x|<ϵ{displaystyle |x_{n}-x|<epsilon }.
أمثلة
يظهر في الشكل رسم بياني لدالة مطابقة للمتتالية {x n} = (1+1/n)n وهي نهاية منتهية ونهايتها
نها n ← ∞ {xn} == نها x ← ∞ (1+1/n)n == 2٫7182818
يمثل الخطان القرمزى والبرتقالى مسافة هـ من قيمة المتتالية عند نقطة (n، xn).
خصائص
نهايات المتتاليات تتصرف بشكل طبيعي عندما يتعلق الأمر بالعمليات الحسابياتية. إذا توفر الشرطان an→a{displaystyle a_{n}to a} وbn→b{displaystyle b_{n}to b}، فإن an+bn→a+b{displaystyle a_{n}+b_{n}to a+b} وanbn→ab{displaystyle a_{n}b_{n}to ab}، وإذا لم يكن b مساويا للصفر ولم تكن أي قيمة لbn{displaystyle b_{n}} مساوية الصفر، فإن an/bn→a/b{displaystyle a_{n}/b_{n}to a/b}.
و يلاحظ تطابق خواص نهايات المتتاليات مع مثيلاتها من خواص نهايات الدالات وكذلك خواص الاشتقاقات.
إذا كانت f دالة متصلة، وتوفر xn→x{displaystyle x_{n}to x}، فإن f(xn)→f(x){displaystyle f(x_{n})to f(x)}. بالفعل، تكون دالة ما متصلةً إذا وفقط إذا كانت تحافظ على نهايات المتتاليات.
المتتاليات غير المنتهية
الفضاءات الطوبولوجية
تعريف
لنفرض وجود x1, x2,... بشكل متتالية من العناصر في الفضاء الطوبولوجي T.
نقول أن Lالمتمية ل;T هي نهاية هذه المتساسلة ونكتب
نهاس ← ∞ س ن = ل
- limn→∞xn=L{displaystyle lim _{nto infty }x_{n}=L}
إذا وفقط إذا كان :
- من أجل كل جوار S من L يوجد هناك رقم N بحيث xn ينتمي ل;S من أجل كل قيمة ل n>N.
خصائص
انظر أيضا
نهاية دالة,
أنماط التقارب,
مراجع
وصلات خارجية
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
بوابة رياضيات
بوابة تحليل رياضي
